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浅谈二元一次方程组课堂教学中变式法的应用

发布时间:2016-11-05  点击量:

教学中我们习惯于题海战术,让学生做各种各样的习题。于是学生在无数重复的题海中疲于奔命,而最后的效果却差强人意,数学成绩得不到显著提升。在新课标指导下,数学的教育教学方法应不断进步、革新。教学中不限于掌握课本简单知识,而是在学生初步掌握基础知识、技能后,应对学习知识进一步的深化和熟练,使学生在今后学习中学会运用课本的知识举一反三,而“变式教学”的方法是十分有效的手段。所谓“变式”,就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征;变换问题中的条件或结论;转换问题的内容和形式;配置实际应用的各种环境,但应保留好对象中的本质因素,从而使学生掌握数学对象的本质属性。 
  方程是初中阶段代数的重要内容,贯穿初中的各个在学习阶段,也是重要的数学方法,掌握好方程解法是极为重要的。在学习二元一次方程及二元一次方程组之前学生已经熟悉一元一次方程的解法,因此教学中把二元转化为一元是关键,也就是消元。用代入法和加减法就能实现消元,但教学中发现并不是每个学生都能根据二元一次方程组的特点选择适当的解法,灵活正确解出方程。有的教师教学中会让学生做大量的习题,而缺少进行的变式教学及方法的概括。以下是本人在二元一次方程组解法教学中变式方法的初步应用。 
  出示较为简单的方程组例题:x+2y=-3①x-3y=2② 
  先要求学生用代入法来解,由学生观察、讨论、分析得出,由x=-3-2y或x=3y+2代入另一个方程即可解出y的值,再把y的值代入方程中的任意一个就可解出x得值。然后推荐学生代表解说过程,教师在黑板板演。 
  接着问除了代入法还有别的更简便办法消去x吗?再让学生认真观察方程组中未知数x系数的特点?发现x的系数相同,如果两个方程两边分别相减即用加减法来解便可以消去x,显然比用代入法更加简便。学生说过程,教师板演。学生通过比较初步体会选择适合方法的重要性。 
  变式一:2x+2y=-3①2x-3y=2② 
  学生观察、比较方程组与上一个方程组的异同点。用代入法解时很多学生会习惯把方程转化为x=-y-32或x=32y+1,显然再代入方程计算较为麻烦。提醒学生仔细观察方程特点,方程①、②中的2x是相同的,因此用整体2x=-2y-3或2x=3y+2代入另一个方程较为简便,使学生体会到整体的思想。 
  能否用加减消元法解这个方程组呢?引导学生观察方程组中x的系数,容易发现两个方程中x的系数相同都是2,选择用加减消元法,由①-②可消去x来解方程组显然更为简便。 
  思考:通过解以上这两个方程组你可有什么心得?让学生用自己的语言来表达。 
  变式二:-2x+2y=-3①2x-3y=2② 
  观察上述方程组,未知数x的系数有什么特点?选择什么方法可简便消去x呢?通过提问学生有目标性的观察方程的特点,发现未知数x的系数相反,如把两个方程的两边对应相加,便可消掉未知数x。比用代入消元法解方程明显简便。 
  让学生想一想通过解前面三个方程组,你发现两个方程中同一未知数的系数什么条件下可用加减消元法?引导启发学生反思后总结:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时(系数的绝对值相等),将两个方程的两边分别相加或相减,就可以消去这个未知数,得到一个一元一次方程,从而达到消元解方程组的目的。 
  变式三:4x+2y=-3①2x-3y=2② 
  引导学生观察方程未知数系数的特点,接着问:这个方程组用代入消元法来解简便吗?让学生尝试用代入法来解,显然用代入消元法计算复杂不简便。接着问:本例可用加减消元法来解吗?这两个方程直接相加减能消去某个未知数吗?显然不能,为什么?那怎样才能使方程组中的某个未知数的系数的绝对值相等呢?通过这一系列的提问,引发学生思考,启发学生仔细观察方程组的特点,发现x的系数成整数倍关系。如果我们把②x2,就可得4x-6y=4③,再由①-③就可消去x,从而达到消元解方程组。 
  反思:通过本例你能总结出什么条件下也可用加减消元法解二元一次方程组呢? 
  变式四:-2x+2y=-3①5x-3y=2② 
  想想这个二元一次方程组还可以用加减消元法来解吗? 
  显然方程组中系数,既没有绝对值相等,也没有整数倍关系。该怎样才能把某一未知数系数转化成的绝对值相等呢?先独立思考后,再小组讨论交流,最后小组反馈说出自己的想法。在此过程中,教师适时点拨引导,让学生发现只要将同一未知数的系数转化成它们的最小公倍数就可以了。由此最终分析得出两种解法: 
  方法一:通过由方程①×5,②×2,这样就使两个方程中的未知数x的系数绝对值相等,再把新得的两个方程相加就达到消元解方程的目的。 
  方法二:通过由①×3,②×2,也可使两个方程中的未知数y的系数绝对值相等,从而用加减法可解得。 
  再引导学生对两种方法进行对比,让学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元比较简便。 
  变式五:-2x+1+2y-1=-35x-1-3y+1=2 
  观察本例中二元一次方程组的特点,问:此题可以直接用加减消元法来解吗? 
  引发学生的思考、讨论,并尝试解题。学生在解的过程中发现这个方程组无法直接消元,要先去掉括号,接着移项、合并同类项,化简整理成“标准形式”的方程组-2x+2y=15x-3y=10,再按变式四中总结的方法进行解方程组。 
  变式六:-0.2x+0.3y=-3①52x-53y=2② 
  出示题后引导学生观察方程组,有了变式五的经验基础,学生很容易发现此题系数有小数、分数,同样无法直接用加减消元法来解,自然而然去思考、去讨论:如何才能也把方程组化简成标准形式呢? 
  通过学生之间的讨论交流发现:把①×10就把小数转化成整数,把②×6就去掉了分母,从而把方程组化简成标准形式-2x+3y=-3015x-10y=12,同样的按变式四的方法就可以解这个方程组了。 
  及时让学生观察变式五和变式六的解题过程,发现其共同点:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(化整数、去分母、去括号,合并同类项等方式),,把方程组化简整理成标准的二元一次方程组后,再根据方程组的特点选择合适的方法进行消元解方程。 
  通过这一系列变式的二元一次方程组的解法探索,学生由浅入深逐步掌握了用消元法解各种类型二元一次方程组,师生共同梳理并归纳出解二元一次方程组的一般思路方法:解二元一次方程组的总体思路是消元,能根据方程组的特点正确选择用代入法或加减法,把二元一次方程转化为学生熟悉的一元一次方程,进而解出方程组的解。进一步总结出用加减法解二元一次方程组的一般步骤:1、如果方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数。2、如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元。3、对于有括号的或系数是小数、分数的较复杂方程组,应先化简(化整数、去分母、去括号、合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在左边,常数项在方程右边的标准形式,再作如上加减消元的考虑。 
  总之,本人在二元一次方程组解法教学中有目的、有意识地引导学生从“变”中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究“变”的规律,引导学生多角度,多侧面,多渠道地思考问题,让学生多探讨,多争论,帮助学生使所学的知识点融会贯通,大大地激发了学生的兴趣,保持其参与教学活动的兴趣和热情,最终达到提高教学质量的目的,并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。


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