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关于不等式问题的方法与技巧

发布时间:2016-12-11  点击量:

【摘要】不等式是解决大学数学问题不可缺少的工具之一,但同时也是一个学习的难点。介绍了利用中值定理、函数单调性、函数的凹凸性等技巧来证明有关不等式的方法,并通过例子,具体说明各方法之间的区别。 
  【关键词】不等式 中值定理 函数性质 
  【中图分类号】O171 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2016)08-0129-01
  一、 利用中值定理证明不等式 
  1.利用Lagrange 中值定理证明不等式 
  在大学数学中,我们经常用来解决不等式有关问题的方法与技巧之一就是利用Lagrange 中值定理。通过 Lagrange 中值定理来处理和解决不等关系式的相关问题的基本步骤: 
  (1)分析题目,依据题目所给内容来寻找不等式,并另设一个恰当的辅助函数f(x)和区间[a,b],来帮助我们对题目所给不等式进行变换; 
  (2)当函数f(x)在区间[a,b]已能够运用 Lagrange 中值定理的情况下,计算出Lagrange中值定理f'(?孜)= 或f(b)-f(a)=f'(?孜)(b-a)(a<?孜<b)。   (3)在满足由(a<?孜<b)或其它由题目所给的所设条件下,我们可以进行适当的对题目所给的不等式进行放缩或者转换,从而最终得出题目所要我们证明的不等式。   例1 当x>1时, 证明: <ln(x+1)-ln x<="" 。=""   证明:选取函数f(t)=ln t,则对于?坌x>1,函数f(t)=ln t在区间[x,x+1]上的时候符合 Lagrange 中值定理的使用条件, 所以有ln(x+1)-ln x= [(x+1)-x], 
  2.利用 Cauchy 中值定理证明不等式 
  当我们需要研究两个函数变量关系的时候,我们可以考虑通过Cauchy中值定理来进行比较分析。Cauchy中值定理与Lagrange中值定理在一定条件下是可以互相推导出的,当一个函数f(x)视为自变量本身的时候,整个公式便可以转化为Lagrange中值定理,当题目中的不等式能够使用Lagrange中值定理证明的时候,我们必然能用Cauchy中值定理来证,反之亦然。 
  二、利用函数的各种性质证明不等式 
  1.利用函数的单调性证明不等式 
  在大学数学中,经常会遇到需要对函数值的大小进行比较,我们会常常利用函数的单调性的有关知识来证明不等式的有关问题。在证明不等式的时候,实质上便是通过对不等式两端数值进行比较来确定大小。 
  例3 已知e (b-a)。 
  证明:作辅助函数p(x)=ln2x- x,显然,p'(x)= - ,p″(x)= , 
  当x>e时,p″(x)<0,故p'(x)单调减少;从而当ep'(e2)=0。 
  则p(x)在区间(e,e2)内单调增加,,则有当e<a<b<e2时,有p(a)<p(b)。   即ln2b- b>ln2a- a,故ln2b-ln2a> (b-a)。 
  2.利用函数的凹凸性证明不等式 
  如果在所要证明的结论中包括形如f(x)的项,那我们常常可以考虑寻找适合的函数,利用函数的凹凸性来证明不等式。 
  例4 已知x>0,y>0且x≠y,求证x lnx+ylny>(x+y)ln 。 
  证明:构造函数F(x)=x ln x,(x>0),则有F'(x)=1+ln x,F″(x)= >0,因此可以知道当x>0的时候,函数F(x)的图像是凸的,所以通过分析函数的凹凸性可以得到,当x>0,y>0且x≠y时,有x lnx+y lny>(x+y)ln(x+y)2恒成立。 
  参考文献: 
  [1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001. 
  [2]赵天玉.取整函数的性质和应用[J].高等数学研究,2004,(5):45-47. 
  [3]薛贵庚.高等数学中证明不等式的思想方法[J].三门峡职业技术学院学报,2007,(4):111-113.


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