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极限思想在函数题型中的应用

发布时间:2017-01-20  点击量:

  【摘要】极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想,用好极限思想,能大大减少运算量,优化解题过程,降低解题难度,缩短解题时间,并且为今后更深层次的探究奠定坚实基础。
  【关键词】极限思想  函数  导数  函数值域  最值
  【中图分类号】G633.6                            【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089(2016)11-0011-02
  在高中学习中,我们接触了极限这一概念.极限在高中第一次被真正应用是在选修2-2(理科)中,用于引入导数.极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。如果接触足够多的函数与导数有关题目时,会发现极限的使用不仅仅局限于极限的定义,而是更为广泛,如求函数值域、最值等。在解题过程中用好极限思想,能大大减少运算量,优化解题过程,降低解题难度.因此我认为,有必要对极限有更进一步的认识。
  一、 求简单函数极限的方法
  极限的严格定义我们会在大学学习,在这里我们的目标只是求出函数某个值的极限。
  (1)简单的极限题目如下:
  此类题只需将值代入计算即可。
  (2)还有一些极限略显复杂,,如:
  ,由于0不能做分母,而x=1时,x3-x=0.但 x2-2x+1与x3-x有公因式x-1,故先因式分解再约分最后代入计算:
  但如果分子与分母没有公因式呢?我们将会在第三部分一起探究。
  二、运用极限的运算法则求一些复杂函数的极限
  设,存在,且令则有以下运算法则,
  加减:
  数乘:
  乘除:
  冥运算
  有了运算法则,我们可以进行一些复杂函数的极限运算,如:
  
  对于分子分母都是多项式的函数,求x→∞的极限,我们可以分子分母同除以自变量的最高次幂:
  
  由此,我们还可以得出结论:同类题目只需比较两个多项式最高次幂的系数。除此之外,还有许多不同类型的求极限题目,有不同的解题思路,如出现了根号,且出现了无穷减无穷,则可以考虑分子有理化等。
  三、巧用洛必达法则,化繁为简
  洛必达法则是利用导数来计算或形式的极限的方法,巧用洛必达法则求函数极限,可以使问题简化。
  洛必达法则:设函数满足:
  以下是洛必达法则在高考中的应用:
  (2010年全国新课标理)设函数
  综合得a的取值范围为
  原解在处理第(2)问时较难想到,利用洛必达法则可简便处理:
  由洛必达法则知
  故
  综上,可知a的取值范围为.
  对恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较易理解,但有些题中求分离出来的函数式的最值问题有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值。
  综上所述,极限思想在我们高中数学解题中,可以起到意想不到的作用.如果我们予以重视,既可以为我们的做题提供可能更为简单的思路,也可以为我们在大学的学习打下基础。故我们要重视极限思想,并合理的利用它,使我们做题简便,在高考中节省宝贵的时间,为今后的深层次探究奠定基础。
 


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