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在数学课堂中渗透“运算教学”例析

发布时间:2017-02-10  点击量:

  【摘要】 运算能力是应用最广的一种基础能力,在高考中不少题目的难度体现在运算的难度上,从高考阅卷对计算题的反馈情况来看,很多考生思路和方法基本正确,但中间过程出现计算失误导致全题失分严重。因此,高考中运算问题成了莘莘学子升学的拦路虎,正所谓“成也运算,败也运算”。如果方法是从已知条件通向结果的桥梁,那么运算技能则是桥梁上的润滑剂,我们可以利用运算技能更快更准地达到目标。
  【关键词】运算能力  算理  运算策略
  【中图分类号】G633.6                            【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089(2016)11-0122-02
  在实际的教学活动中,不明算理,机械地套用运算公式;不顾运算目标,,进行盲目的推理演算;运算过程中缺乏选择合理、简洁的运算途径的意识;运算过程繁琐,错误率高等现象经常发生。不少老师和学生对运算能力的内涵缺乏科学认识,经常把错误原因归结到非认知因素上,认为是“马虎”、“粗心”才造成运算错误。他们总是只看重解题过程中的方法和思路,对运算的具体实施,对运算过程中的合理性、简洁性等都没有给出足够的重视。因此,我认为应该让“运算”走进“课堂”,下面,我将主要从四个案例出发,对在数学课堂渗透运算教学谈谈自己的粗浅看法。
  一、挖掘题目中的隐含条件提高运算的合理性
  运算的合理性是运算的核心,表现在运算要符合算理,运算过程中的每一步变形都要有所依据(概念、公式、法则),可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现。从运算的目标出发,研究变形的方向,最终产生判断,确定运算路径。这一系列的活动都是运算过程中的思维活动,是运算合理性的表现。
  解析几何中的运算向来是学生最头疼的问题之一,学生经常会一遇到题目就往固定的解题模式上套,即联立直线与曲线方程→消元得到关于x(或y)的一元二次方程→利用判别式、韦达定理“设而不求”,而现在高考此类题往往要出的有特色突出淡化解题的固定解题程序而突出解析几何的本质----解析法(坐标法),重点考查数形结合思想与运算求解能力。
  案例1  椭圆的左右顶点分别为A,B,过点D(1,0)的直线MN与椭圆C分别交于点,其中,设直线AM,BM,AN的斜率分别为,求: (1)求的值; (2)求的值;
  解:(1)学生一般的步骤是:“设、联、消、判、算”,但事实上乘积只与点M的坐标有关,只需把点代入椭圆的方程即可解决。
  (2)设直线,
  则
  法1:通过特例,直线的斜率不存在找到这个特殊值,再去验证;
  法2:由联立由韦达定理定理可得。
  法3: 便可以使用韦达定理。
  从这道题目我们应该教给学生一些圆锥曲线的基本运算策略:
  ㈠若题目中涉及一个点,则把点代入椭圆的方程即可;
  ㈡若涉及直线应考虑它的的设法;
  ㈢通常情况下,都是顺用韦达定理,当顺用遇阻时,我们应考虑逆用韦达定理,或对其变形,甚至要结合椭圆的方程,对所求的关系式变形,再用韦达定理。
  二、利用数学思想方法提高运算的简捷性
  1.数形结合的方法
  高考对运算简洁性的考查,主要体现在运算过程中概念的灵活应用,公式的恰当选择,数学思想方法的合理使用。同时运算简洁性是运算合理性的标志,是运算速度的要求,它与数学概念公式、数学思想方法的熟练程度直接相关。
  案例2   已知函数在区间[0,2]有最大值3,求的值;
  学生一般分三种情况讨论轴与区间的关系,但事实上由数形结合可知最值一定在端点处取到,那个端点离轴远那个对应的函数值大,所以只需要分两种情况讨论。
  有时候“看”比“算”更重要,“算不出”、“算不对”的也许可以通过简单的“看”找到解决的简洁方法。
  2.有理化的方法
  案例3  在《双曲线及其标准方程》的教学中,由定义推到标准方程的运算教学中,常见的运算教学设计思路有两种,一、完全类比椭圆标准方程推导的过程,得出双曲线的标准方程,二、认为既然与椭圆标准方程的推导基本相同,不重要了,于是轻描淡写一句带过。
  其实,如果我们能够深刻领会新课程理念下“运算教学”的思想,何妨换一个两全其美的设计思路:先类比椭圆标准方程推导中两次移项两次平方的计算方法,但不让学生具体做这样的简单重复的计算,而是引导学生用分子有理化的计算技巧重新计算得到双曲线的标准方程。
  由推导过程可得到双曲线的第二定义,甚至由推导的过程引发进一步的联想:到两定点的距离之积、之商的方程又会如何,轨迹是什么呢?
  我们欣喜地看到,这样一个小小的方法上的变化,不仅能够避免过程的重复、防止过程的缺失,而且培养了学生运算和思维的能力,达到一举两得的目的,同时还能进一步激发学生的探究欲望,从代数中得到几何的意义,甚至产生更多有价值的联想与探究。这也是我们主张“跳出计算”,进入“运算教学”最重要最根本的目标!
  三、优化算法、算理、算律提高运算的准确性
  运算的准确性是对运算能力的基本要求,要求学生根据题目的基本要求,有根有据地一步一步地实施运算,即运算过程中使用的概念、公式、法则要准确无误,表达的结果准确无误,运算中的根与据就是算法、算理、算律,要提高运算的准确性就要从算法、算理、算律抓起。
  案例4   错位相减法通常被认为是型数列求和的“唯一”方法,这种方法规律性强,易于操作,但运算繁杂,学生很容易出错。实际上此题可以通过待定系数法对通项公式进行裂项,用裂项相消法求和。
  这种方法规律性和操作性很强,而且规避了错位相减法的繁杂运算,提高了学生的运算速度和准确性。
  综上所述,对常规运算能力的培养,可以按行为主义心理学的“刺激、同化、顺应”程序加强形式化训练,循序渐进,让学生对常规运算方法孰能生巧,最好达到“自动化”程度,从“思路会、算不对”的阴影中走出来——由懂(算法算理)到会(算),由会到对,有对到熟,由熟到变,由变到通,由通到用。
  参考文献:
  [1]张庆林.当代认知心理学在数学中的应用[M].重庆:西南师范大学出版社,1995.
  [2]普通高等学校招生全国统一考试说明.
  [3]中学数学教学参考2016年第5期
 


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