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《空间向量与立体几何》教材教学的建议

发布时间:2017-03-23  点击量:

  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2016)35-0110-01
  《空间向量与立体几何》是高中数学选修2-1的第三章内容,本章内容既是必修四《平面向量》在空间的推广与引申,一些结论和定理在空间仍然成立,也是必修二《立体几何》的初步延伸,空间向量为立体几何在证明线线、线面、面面平行与垂直的证明,以及求解线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角提供了一种运用向量或者坐标解决问题的方法和途径。在《新课程标准》对本章內容明确提出:“通过本章的学习使学生在对已由平面向量的基础上进一步学习空间向量并运用空间向量研究立体几何中的问题,进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用。”
  在江苏高考中本模块知识是江苏高考理科学生选考的一个知识点。在江苏高考中空间向量与立体几何的知识是作为附件分40分中的一题,在试题中仅仅是以解答题的形式出现、主要考查是通过建系求线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角等相关知识。高考大纲中要求如下:
  本章教材在编写方面在内容的章节安排上采取了与空间向量对应的方式、在例题的处理上也大同小异,在内容的安排、例题的选取与方法有一些不尽人意的得分,在对本章的教学中,教师要合理的运用教材、开发教材,在教材的使用上要注意以下两点:
  一、调整课时、合并内容、适当调整
  《高中数学课程标准》上安排《平面向量与立体几何》部分在课时上安排了12课时(其中包括小结与复习1课时),如下表,由于本教材在内容上是空间向量的延续。在课堂教学中针对江苏高考的特点以及《高中数学新课程标准》并且再参考学生已由的知识的基础上,我们对教材在内容安排上进行如下调整:如下表。其中前面的内容由于是在平面向量的基础上的推广与延伸,所以课时进行适当的压缩,由于本章的重点与难点是空间向量的运用,重点是解决线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角,所以在在内容安排上尽量多安排,安排了4课时比较合适。因此,对课时进行了如下调整:空间向量的特点、空间向量共线、共面的充要条件(1课时)空间向量的特点、空间向量共线、共面的充要条件(1课时)。空间向量的加法、减法及数乘运算、空间向量的坐标运算(1课时),空间向量的数量积(1课时),空间向量的共线与垂直(1课时),直线的方向向量与平面的法向量(1课时),空间向量的应用(4课时)。
  二、瞄准高考、活用例题、注意通法
  高考在本章的考查重点就是运用向量坐标的知识,解决立体几何问题,因此,在本章的教学重点就是建系,转化成点坐标的形式。因此,课堂教学中要围绕这一中心。如2015年江苏高考试题:如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值。
  解:以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)。
  (1)因为AD⊥平面PAB,所以是平面PAB的一个法向量,=(0,2,0)。
  因为=(1,1,-2),=(0,2,-2),.设平面PCD的法向量为=(x,y,z),则·=0,,·=0,即x+y-2z=02y-2z=0,令y=1,解得z=1,x=1,所以=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量,从而cos<,>==,所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为。
  试题分析:本题主要考查运用建立空间坐标系的思想方法,运行坐标的知识解决平面与平面所成的角与异面直线所成的角等相关知识,这就是本章内容所考查的重点所在。
  因此,在课堂的例题教学中,要把握住建系、表示点的基本思路。如在《空间的角的计算》一节中例1,在教材中例1给予了两种解法。
  例1 :如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E1,F1分别在A1B1,C1D1上,且E1B1=A1B1,D1F1=D1C1,求BE1与DF1所成角的大小。
  课本中给出了两种解法,而解法1与解法2运用向量的数量积等知识,在本章中这种方法显然是不恰当的,教师不妨运用建系的方法,这样就更具有针对性。
  解题过程:不妨设正方体的棱长为4.以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系,则各点的坐标为D(0,0,0),B(4,4,0),E1(4,3,4),F1(0,1,4),
  所以=(0,-1,4),=(0,1,4),因此·=0×0+(-1)×1+4×4=15.
  由cos<,>===.
  可得异面直线BE1与DF1所成的角约为28.07度。
 


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