课程教育研究杂志社 > 优秀论文 > 关键词:分类讨论在数学教学中的应用

分类讨论在数学教学中的应用

发布时间:2017-07-31  点击量:

  【摘要】数学学习是离不开思维的,数学探索也同样需要通过思维来实现。分类讨论是中学阶段很重要的一种数学思想,是学生解题的重要方法。
  【关键词】初中数学 分类讨论 数学思想
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2017)21-0116-02
  分类讨论,是一种常用的数学思想,也是一种重要的数学逻辑方法。在解题过程中,正确、合理的分类,能达到化难为易、分而治之的目的。
  一、 分类讨论的定义
  分类讨论思想又称“逻辑化分思想”,它是指在解决一个问题时,无法用同一种方法去解决,而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题,从而使问题得到解决的一类数学方法。分类讨论是各地近年来中考热点,相关习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,几乎贯穿于整个中学数学。它主要分布在:数与代数( 概念分段定义; 公式、定理、法则分段表达;实施某些运算引起分类讨论;含参方程或不等式);几何(图形位置不确定;图形形状不确定);其他(题设本身有分类)。
  二、分类讨论的原理及作用
  通常所说的数学分类讨论方法,就是将被研究的对象按特征分为若干类别,并对它们进行讨论,以此来解决问题的一种数学方法。分类讨论需要的是,实践运用它来解决生活学习中的数学问题。分类讨论对学生的知识面和分析能力、分类技巧有一定的要求,对学生的学习能力考察也有重要的促进作用。
  三、 分类讨论的原则
  1.同一性原则
  按照同一种标准进行分类,即在分类中不能同时使用好几个不同的分类根据。
  例1:实数的分类
  分析:有同学会把实数分成正数、负数、0、无理数、有理数这几种。这样的分类就不正确了,因为这样的分类使用了按实数的定义和按正负性这两个分类标准。事实上,无理数可以是正数,也可以是负数;而无理数可以是正数,也可以是负数;有理数也是。
  2.互斥性原则
  分类后不能有既属于这个子项的,又属于另一个子项的项。上面的例1也违反了这个原则。例如3,它既是有理数,也是正数;既是负数,也是无理数。
  3.多层次性原则
  分类有一次分类和多次分类的区分。一次分类是指对被讨论对象只进行一次分类;而多次分类是指把分类之后得到的每一个子项作为母项,再进行分类,一直分到不能再分为止。
  四、分类讨论的具体步骤
  1.首先确定分类的对象
  2.其次明确分类的标准
  3.接下来逐级分类
  4.注意用该级的标准来对筛选结果进行检验
  5.最后进行归纳,并得出结论
  五、分类讨论的几种基本类型
  1.与数或式有关的分类讨论
  (1)实数分类、绝对值及其算术平方根
  (2)与函数及其图象有关的分类讨论 :如变量的取值范围、增减性
  (3)含参数的不等式
  (4)涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。
  (5)含参数的方程
  例2:已知:方程有实数解,求a的取值情况。
  分析: 这题要分类讨论,分a=0和a≠0两种情况 。如果题目已知说明了该方程为一元二次方程,那么只要考虑a≠0这种情况。
  2.三角形中的分类讨论
  (1)与等腰三角形有关的分类讨论:在等腰三角形中,无论边还是顶角、底角不确定的情况下,要分情况求解,有时还要从钝角三角形、直角三角形、锐角三角形这三方面来分别讨论解决(特别碰到跟三角形的高有关的题目)。
  1)与角有关的分类讨论
  2)与边有关的分类讨论
  3)与高有关的分类讨论
  (2)与直角三角形有关的分类讨论:在直角三角形中,如果没有指明哪条边是直角边、斜边,这就需要根据实际情况来分类讨论;角的情况类似。
  (3)与相似三角形有关的分类讨论
  1) 对应边不确定
  2)对应角不确定
  例3:已知等腰三角形的一边长等于5,另一边长等于6,求它的周长。
  分析:此题的背景是等腰三角形,边长分成两类:腰与底。这题同时还要注意:分类讨论完,需判断三线能否构成一个三角形。
  变式1:已知等腰三角形的一个内角为25°,求这个等腰三角形的顶角度数。
  变式2:已知,如图所示,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(16,0),C(0,6),,点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为8的等腰三角形时,则点P的坐标为___________________________________。
  例4:等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为65°,求此等腰三角形的顶角的度数。
  分析:此题涉及到三角形高的问题,需从三个方面(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)来进行分类讨论。
  变式:已知三角形的两边长分别为10cm和15cm,第三边上的高为7cm,求这个三角形的面积。
  3.圆中的相关分类讨论
  (1)点与圆的位置关系不确定
  (2)弦所对弧的优劣情况不确定
  (3)两条弦与直径位置不确定
  (4)直线与圆的位置关系不确定
  例5:A、B是圆O上的两点,且∠AOB=106°,C是圆O上不与A、B重合的任意一点,则∠ACB的度数是_____________。
  分析:点C与圆O的位置关系不确定而分类讨论
  变式:已知圆O的半径为5cm,AB、CD是圆O的弦,且AB=8cm,CD=6cm,AB∥CD,则AB和CD之间的距离是________________。
  注:用分类讨论思想解决问题须保证科学分类,标准统一,并力求最简。
  六、增强分类的意识
  分类讨论思想是中学阶段很重要的数学思想方法,但是初中生的分类讨论讨论意识还不够强。这就需要教师在平时的教学中通过结合教材、创设情景、启发诱导等方式来刺激学生,从而培养他们自觉应用分类讨论的意识。
  总之,分类讨论的数学方法,可使学生运用已知条件进行开放性猜想,深化对知识的理解,也培养了学生思维的灵活性、严密性和创造性。在平时的教学中,特别是中考复习时,应对“分类讨论”的数学思想要逐步渗透,从而提高解题能力。
  参考文献:
  [1]全日制义务教育课程标准(实验稿),北京师范大学出版社.
  [2]中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京师范大学出版社,2012-01.
  [3]彭林,刁卫东.中考数学命题热点与规律探折,中小学数学,2001专刊.
  [4]王燕春.学会分类方法,提高分类意识,中学生数学, 1998.5.
  [5]李彩芬.精心设计数学思想实验,中学数学教学参考,2003.5.
  作者简介:陈赟(1989-),女,汉族,福建福州人,学士,职称(中学数学二级教师),工作单位:福建省福州第十中学。


本文地址:http://www.kcjyyjzzs.com/lunwen/4059.html

相关阅读:
  • 1 浅析“一带一路”背景下高职公共英语的教学改
  • 2 利用电教媒体优化小学数学教学
  • 3 浅析小学语文课堂有效教学
  • 4 来华留学生中国文化体验课教学的几点思考
  • 5 小学数学课前预习的策略研究
  • 6 小学语文有效教学方式、方法的探索
  • 7 新教师课堂管理的基本理念与策略
  • 8 创建王选创新实验班,重构中学技术课程
  • 9 应用情景教学法提高小学数学教学对策研究
  • 课程教育研究杂志www.kcjyyjzzs.com 冀ICP备15004387号-3 网站地图 最近更新

    万方数据收录证书 课程教育研究是正规杂志吗 时代教育杂志社 课程教育研究杂志中国知网收录截图 《课程教育研究》杂志简介投稿邮箱