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解三角形中的最值问题

发布时间:2017-08-31  点击量:

  【摘要】解三角形是历年高考题的考察重点,属于必考内容。在解三角形的问题当中,关于最大值、最小值、结果的范围等问题属于其中的难点问题。本文对于常见的解三角形中的极值问题进行了分类、归纳总结,使得学生能够学会这类问题的通式通法,在考场上节约时间,提高做题效率。
  【关键词】高考 解三角形 重要不等式 最值
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2017)29-0147-02
  在解三角形中,仅仅应用正弦定理以及余弦定理是不足以解决最值问题的,需要与其他知识相结合才能解决。接下来本文就对解三角形中最值问题常见的几种情况进行讨论。
  1.利用重要不等式得出最值
  有些题目通常利用正弦定理、余弦定理对题目的已知条件进行转化,可以产生形如“ab”或“a2+b2”的形式,此时便可利用重要不等式“a2+b2≥2ab”,将其带入得到最值。
  例1已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为 。
  解答:利用正、余弦定理以及同角三角函数基本关系可得到sinA=■。
  根据正弦定理S△ABC=■bcsinA=■bc,由题目已知条件可得bc=c2+b2-4,,将重要不等式带入可得bc=c2+b2-4≥2bc-4,即bc≤4,带入之前的式子得到△ABC面积的最大值为■。
  在这道题目当中,通过对于正、余弦定理以及同角三角函数的基本关系综合应用,将题目的已知条件进行转化、变换,将所求的三角形面积化简为■bc,将求三角形面积的最大值问题转化为求bc的最大值。
  接着将已知条件进行转化从而产生包含重要不等式的形式,进而便能够得到bc的最大值从而解决本题。
  2.利用图形来找到所求量的范围
  例2 在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 。
  解答:∠A=∠B=∠C=75°,所以∠D=135°。又BC=2,所以当点D与点C重合时,由正弦定理可得■=■,解得AB=■-■;
  当点D与点A重合时,由正弦定理可得■=■,解得AB=■+■,
  因为ABCD为四边形,所以AB∈(■-■,■+■)。
  在这道题目之中,当点D与点C重合时,无法构成四角形,此时为AB边长度的最小值;同理当点D与点A重合时,此时AB边长度最大。所以只要分别求出这两种情况下的AB的边长,也就得到了边长的最大值与最小值。
  3.利用辅助角公式求解最值
  例3:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
  (1)求B;
  (2)若b=2,求△ABC面积的最大值。
  解答:(1)通过正弦定理可以解出∠B=■,具体过程略。
  (2)由正弦定理可知,S△ABC=■acsinB,且有■=■=■=2■,由此可得,S△ABC=2■sinAsinC=2■sinAsin(π-A-B)=2■sinAsin(π-A-■)=2■sinAsin(■π-A)=2■sinA(■cosA+■sinA)=2sinAcosA+2sin2A=sin2A-cos2A+1=■sin(2A-■)+1,所以△ABC面积的最大值为■+1,当A=■时,取得最大值。
  首先,利用正弦定理求解出∠B的值。第二问通过正弦定理将所求面积转化为求sinAsinC最大值。接着利用上一问求出的∠B的大小,通过三角形内角和、两角和与差公式、三角函数基本关系式以及诱导公式,将问题转化为只包含一个角与一个三角函数的形式,从而解答出本题。
  在解三角形当中涉及到最值问题通常是考试中的难点,只要系统化掌握高中阶段所学知识,能够灵活運用、融会贯通,这类问题便将迎刃而解。


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