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运用特殊思想,指导数学解题

发布时间:2017-09-22  点击量:

  特殊化思想,就是将数学难题中普遍出现的难题用特殊情况进行解决,之后再由特殊方法解决一般问题,从整体到部分,再由部分到整体,快速准确地解决数学难题。特殊化思想将在数学解题中起到事半功倍的效果,老师应在平时的教学中将这种思想加以渗透,提高解题效率。笔者主要从三个特殊思想指导数学解题:验证特值,高效解题;关注最值,突破问题;善用极限,分析趋势。
  一、验证特值,高效解题
  特殊是在一般的基础上,运用特殊方法,巧妙解决数学问题,从而得到正确的结果。在数学解题中,如果客观题的题目中所要解的答案是一个定量或定值时,有时不需要将题目中所有的条件都用上,可以运用题目中的特殊值,划定范围,缩小题目要求,缩短计算过程,简化解题步骤,快速解出答案,有效节约时间。
  例如,我在讲解高中数学“三角函数”和“等差数列”后,选取了这样一道题:已知三角形的三个边是等差数列,那么tanA/2×tanC/2的值恒为__。这是一道填空题,不需要在卷纸上列出过程,所以就可以用特殊值这种简便的方法加以计算。题目中知道三角形的三个边是等差数列,对三个角并没有什么要求,所以,就可以假设三角形的三个边的差为0,三角形的三个边相等,即a=b=c,那么,三角形的三个角也相等,即A=B=C=60°,并且带入题目中的式子,tan30°×tan30°为1/3,就可以得出答案。还有另一种方法,既然题目中说三角形的三个边成等差数列,而实际中,三个边分别为3、4、5的直角三角形的三个边也为等差数列,所以可以设三个边中a=3,b=4,c=5,也得tanA/2×tanC/2也为1/3,两种特殊方法算出的结果相同。不仅简化了计算过程,而且验证了计算结果,保证结果的准确性。
  由特殊到一般贯穿人类发展的始终,在数学学习中也不例外。通过这个题的讲解,既涉及了等差数列,又涉及了三角函数,将题目中广泛的已知用特殊值加以计算,不仅解决了数学问题,而且发现了数学真理。因此,在教学中,很有必要运用特殊值法来引导教学,提高学习效率。
  二、关注最值,突破问题
  数学中的许多问题,往往通过达到最值时才反应出性质,所以,就要求我们要着眼最值问题,发现问题的突破口,不断分析问题。高中阶段题型较多,知识较难,最值问题常常遇到,对最值问题加以解决并应用,会大大提高学习效率。
  例如,我在讲解高中数学的“导数及其应用”后,出了这么一道应用题:某菜农为了盖蔬菜大棚,大棚为长方体,并且一面靠墙,占地面积为600平方米,前面造价为800元每平方米,侧面造价为600元每平方米,大棚高为3米,那么,这个菜农该怎么建才能使自己的大棚造价最低,最低造价为多少钱?这个题是实际生活中出现的问题,会引起学生的兴趣。出现了这个题目,同学们首先会在自己的脑海中呈现这个大棚的画面,并且可以画下来。可以引导他们进行假设:设地面长为x米,宽为y米,由题可得,xy=600,那么,y=600/x,进而求出三面的造价:正面=3x×800,側面=2×3y×600,总造价z=2400x+3600y+6000,将y=600/x带入得,总造价z=2400x+2160000/x+6000,利用导数,z的导数=0时造价最低,即2400-2160000/x2=0,解得x=30,y=20时造价最低,将x、y带入z可得z=150000,就算出了答案。学会导数,找到目标函数,用导来求目标函数的最小值,提高了解题效率。
  最值法是解决问题的一种特殊的方法,有利于学生分析能力和解题能力的提高,灵活运用最值法,突破数学难题,提高学生思维能力。所以,老师要注重最值方法的教学,将此方法渗透学生学习的始终,并有效加以利用。
  三、善用极限,分析趋势
  极限的方法是数学中常用的方法,可以对数学进行有效分析,深深影响着数学。在小学时我们就已经接触了极限,中学的极限相对较难,同时,又影响着大学时候的极限学习,对极限思想加以应用会提高解决问题的效率。
  例如,我在讲解高中苏教版的必修一第二章的“函数”时,就用到了极限的思想。我向同学们展示了一道实例:y=x2+1/x2-1的值域是多少。看到这个题目,要求y的值域,同学们首先想到的是用反函数来解。那么因为y=x2+1/x2-1,可以得到:x2=y+1/y-1,由于x2>=0,所以y+1/y-1>=0,所以,y1,就可以得出答案。这种方法先将y与x的关系互换,利用x2为正数,可以求出y的值域。这时候,可以引导学生用极限的方法来求值域,更加简便。即当x2趋向于-1时,y趋向于-∞;当x2趋向于1时,y趋向于+∞,所以,就可以得出答案(-∞,-1]∪ (1,+∞)。这样运用极限进行运算,不仅简化了运算步骤,而且可以使运算更加准确,使得运算更加简便,缩短了运算时间,为其他题目的运算提供了时间保障。
  极限的思想不仅运用在数学中,而且渗透在生活的许多方面。老师要对此方法引起足够重视,并且在平时的教学中,积极引导学生用此方法,来解决数学中出现的各种问题,提高学生解决问题的效率。
  总之,特殊化思想在数学解题中将起到不可思议的作用。学生在平时做题时往往不能加以运用,还可能小题大做,浪费时间,影响后面做题效果。老师在平时教学时,应把特殊化思想渗透到学生的思想中,并可以找出相类似的题加以专门训练,指导学生解题,提高做题效率。


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